ВАРИАНТ ЦЕЛИКОМ НИЖЕ:
1. Найдите в явном виде целое число, задающееся выражением \(\left( \frac{1}{24} + \frac{1}{15} – \frac{1}{10} \right)^{-1}\).
2. Строго возрастающая последовательность \(a_1, a_2, a_3, \dots\) натуральных чисел удовлетворяет при каждом натуральном \(n\) соотношению \[ a_{n+2} \le \sqrt{a_n^2 + 2a_n + 2a_{n+1} + 2}. \]
Найдите все возможные значения \(a_{25}\), если известно, что \(a_1 = 1\).
3. Решите неравенство \[ (2 – 2x) \cdot \log_{2,3x-5} \sqrt{3} \le 1. \]
4. Решите уравнение \[ \sin 3x (\cos x – \cos 2x) – \cos 3x (\sin x – \sin 2x) = 6 \cos x – 3. \]
5. Внутри окружности \(\Omega\) радиуса 5 отмечена точка \(E\), через которую проведены хорды \(AB\) и \(CD\), перпендикулярные друг другу. Найдите все возможные значения расстояния от вершины \(F\) прямоугольника \(AECF\) до центра \(O\) окружности \(\Omega\), если известно, что \(OE = 1\).
6. Положительные действительные числа \(a, b, c\) удовлетворяют равенству \(a + b + c = 1\). Найдите наименьшее возможное значение выражения \[ \frac{\sqrt{(1-a)(1-b)} + \sqrt{(1-b)(1-c)} + \sqrt{(1-c)(1-a)}}{1 + \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}}. \]
7. Дан куб с основаниями \(ABCD\), \(A’B’C’D’\) и боковыми рёбрами \(AA’, BB’, CC’, DD’\). Длина ребра этого куба равна 1. На диагонали \(AC\) основания \(ABCD\) отмечена точка \(E\) так, что \(AE = \frac{\sqrt{2}-1}{2}\). Найдите площадь сечения данного куба, проходящего через его центр \(O\) и перпендикулярного прямой \(OE\).
ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ:
1. Вычисление числового выражения
Задача: Найдите в явном виде целое число \(\left( \frac{1}{24} + \frac{1}{15} – \frac{1}{10} \right)^{-1}\).
Решение:
1. Приведем дроби к общему знаменателю 120:
\[ \frac{1}{24} = \frac{5}{120}, \quad \frac{1}{15} = \frac{8}{120}, \quad \frac{1}{10} = \frac{12}{120} \]2. Вычислим сумму в скобках:
\[ \frac{5 + 8 – 12}{120} = \frac{1}{120} \]3. Возведем в степень \(-1\):
\[ \left( \frac{1}{120} \right)^{-1} = 120 \]Ответ: 120
2. Последовательность
Задача: \(a_1 = 1\), \(a_{n+2} = \sqrt{a_n^2 + 2a_n + 2a_{n+1} + 2}\). Найти \(a_{25}\).
Решение:
1. Рассмотрим выражение под корнем. Преобразуем его, выделив полный квадрат:
\[ a_n^2 + 2a_n + 1 + 2a_{n+1} + 1 = (a_n + 1)^2 + 2a_{n+1} + 1. \]2. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
\[ a_{n+2}^2 = (a_n + 1)^2 + 2a_{n+1} + 1. \]Заметим, что если последовательность арифметическая с шагом 1 (\(a_n = n\)), то:
\[ (n+2)^2 = (n+1)^2 + 2(n+1) + 1 \] \[ n^2 + 4n + 4 = n^2 + 2n + 1 + 2n + 2 + 1 = n^2 + 4n + 4. \]Равенство выполняется. Так как \(a_1 = 1\), то \(a_n = n\).
3. Находим двадцать пятый член последовательности:
\[ a_{25} = 25. \]Ответ: 25
3. Проверка первых членов и гипотеза
Пусть \(a_1 = 1\). Предположим, \(a_2\) — некоторое натуральное число \(> 1\). Тогда:
\[ a_3^2 = (1 + 1)^2 + 2a_2 + 1 = 5 + 2a_2. \]Поскольку \(a_3 \in \mathbb{N}\), то выражение \(5 + 2a_2\) должно быть полным квадратом.
— При \(a_2 = 2 \Rightarrow a_3^2 = 9 \Rightarrow a_3 = 3\).
— При \(a_2 = 3 \Rightarrow a_3^2 = 11\) (не является полным квадратом).
— При \(a_2 = 10 \Rightarrow a_3^2 = 25 \Rightarrow a_3 = 5\).
Однако по условию последовательность строго возрастает (\(a_3 > a_2\)), что не выполняется для случая \(a_3 = 5, a_2 = 10\).
4. Гипотеза: \(a_n = n\)
Проверка:
\[ (n+2)^2 = (n+1)^2 + 2(n+1) + 1 = (n+1)^2 + 2n + 3 = n^2 + 2n + 1 + 2n + 3 = n^2 + 4n + 4 \]Получаем верное тождество: \((n + 2)^2 = (n + 2)^2\).
Ответ: 25.
3. Неравенство с логарифмом
Задача: \((2 – 2x) \log_{2 \cdot 3^x – 5} \sqrt{3} \le 1\).
Решение:
1. ОДЗ:
1. \[2 \cdot 3^x – 5 > 0 \Rightarrow 3^x > 2,5 \Rightarrow x > \log_3 2,5\]
2. \[2 \cdot 3^x – 5 \neq 1 \Rightarrow 3^x \neq 3 \Rightarrow x \neq 1\]
2. Преобразуем неравенство:
\[ 2(1 – x) \cdot \frac{1}{2} \log_{2 \cdot 3^x – 5} 3 \le 1 \Rightarrow \frac{1 – x}{\log_3 (2 \cdot 3^x – 5)} \le 1. \]3. Используем метод рационализации:
\[ \frac{f}{g} \le 0 \iff f \cdot g \le 0. \]Перенесем единицу в левую часть и приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{1 – x – \log_3 (2 \cdot 3^x – 5)}{\log_3 (2 \cdot 3^x – 5)} \le 0. \]Представим \(1 – x\) как \(\log_3 3^{1-x}\) и воспользуемся тем, что знак \(\log_a b\) совпадает со знаком \((a-1)(b-1)\):
\[ \frac{\log_3 3^{1-x} – \log_3 (2 \cdot 3^x – 5)}{\log_3 (2 \cdot 3^x – 5) – \log_3 1} \le 0. \]Применяя метод рационализации (\(a=3 > 1\)):
\[ \frac{3^{1-x} – (2 \cdot 3^x – 5)}{(2 \cdot 3^x – 5) – 1} \le 0. \]4. Рассмотрим разность в числителе: \(\log_3 3^{1-x} – \log_3(2 \cdot 3^x – 5)\). На ОДЗ это эквивалентно \(3^{1-x} – (2 \cdot 3^x – 5)\).
5. Решим \(3 \cdot (3^x)^{-1} – 2 \cdot 3^x + 5 = 0\). Пусть \(3^x = t > 0\):
\[ 3 – 2t^2 + 5t = 0 \Rightarrow 2t^2 – 5t – 3 = 0 \Rightarrow t = 3 \text{ (т.е. } x = 1\text{) или } t = -1/2 \text{ (не подходит).} \]
6. Методом интервалов на ОДЗ \((\log_3 2,5; 1) \cup (1; +\infty)\) получаем:
Ответ: \((\log_3 2,5; 1) \cup (1; +\infty)\).
5. Геометрия (Хорды)
Нюанс: Здесь важно знание формулы для расстояния от центра до вершины прямоугольника, образованного перпендикулярными хордами.
Построение: Нарисуйте окружность с центром \(O\), точку \(E\) внутри. Проведите \(AB \perp CD\) через \(E\). Достройте до прямоугольника \(AECF\).
Решение:
Известно свойство: \[EA^2 + EB^2 + EC^2 + ED^2 = 4R^2\]
Для прямоугольника \(AECF\) координаты вершины \(F\) связаны с \(E\) и центром \(O\).
Ключевой инвариант: \[OF^2 = OA^2 + OC^2 – OE^2 = R^2 + R^2 – OE^2 = 2R^2 – OE^2 \quad (1, 2)\]
\[OF = \sqrt{2 \cdot 5^2 – 1^2} = \sqrt{49} = 7\]
Ответ: 7.
Задача 6
Условие: \(a + b + c = 1, a, b, c > 0\). Найти минимум: \[ \frac{\sqrt{(1 – a)(1 – b)} + \sqrt{(1 – b)(1 – c)} + \sqrt{(1 – c)(1 – a)}}{1 + \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}} \]
Решение:
1. Заметим, что \(1 – a = b + c\). Тогда: \[ \sqrt{(1 – a)(1 – b)} = \sqrt{(b + c)(a + c)} \]
2. По неравенству Коши-Буняковского: \[ \sqrt{(b + c)(a + c)} \ge \sqrt{ab} + c \]
3. Суммируем числитель: \[ (\sqrt{ab} + c) + (\sqrt{bc} + a) + (\sqrt{ca} + b) = (a + b + c) + \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} = 1 + \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \]
4. Дробь принимает вид: \[ \frac{1 + \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}}{1 + \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}} = 1 \]
5. Минимум достигается при \(a = b = c = 1/3\).
Ответ: 1.
7. Стереометрия (Сечение куба)
Построение: Куб \(ABCDA’B’C’D’\). \(O\) — центр куба. Точка \(E\) на диагонали \(AC\).
Нюанс: Прямая \(OE\) является нормалью к плоскости сечения.
Решение:
1. Введем систему координат с центром в \(O(0, 0, 0)\). Тогда вершины: \[A(-1/2, -1/2, -1/2), \quad C(1/2, 1/2, -1/2)\]
2. Координаты \(E\) на \(AC\): \(E = A + \lambda(C – A)\). Из условия \[AE = \frac{\sqrt{2} – 1}{2} \text{ и } AC = \sqrt{2}\] находим положение \(E\).
3. Уравнение плоскости: \(n_x x + n_y y + n_z z = 0\), где \(\vec{n} = \vec{OE}\).
4. Площадь сечения в кубе, перпендикулярного главной диагонали, рассчитывается как площадь шестиугольника. При заданном \(AE\) сечение проходит через середины ребер.
Ответ: \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\).