Разбор варианта ДВИ МГУ по математике 2026

Задача 1

Условие.

Известно, что \(x : y = 9 : 7\). Найдите

\[ \frac{x+y}{x-y}. \]

Решение.

Из отношения \(x : y = 9 : 7\) следует, что существует число \(k \ne 0\), такое что

\[ x = 9k, \qquad y = 7k. \]

Тогда

\[ \frac{x+y}{x-y} = \frac{9k+7k}{9k-7k} = \frac{16k}{2k} = 8. \]

Ответ: \(8\).

Задача 2

Условие: \( a_{n+1}=\frac{5-a_n}{4}, \quad a_1=11. \) Найдите наименьшее \(n\), при котором \( |S_n-n-8|<\frac{1}{1000}. \)

Решение:

1. Найдём общий член последовательности. Заметим, что это линейная рекуррента. Решим уравнение

\[ x=\frac{5-x}{4} \Rightarrow 4x=5-x \Rightarrow x=1. \]

2. Рассмотрим \(b_n=a_n-1\). Тогда

\[ b_{n+1}+1=\frac{5-(b_n+1)}{4} \Rightarrow b_{n+1}=-\frac14\,b_n. \]

Это геометрическая прогрессия с \(q=-\frac14\) и \( b_1=a_1-1=10. \)

\[ a_n=1+10\left(-\frac14\right)^{\,n-1}. \]

3. Найдём сумму:

\[ S_n=\sum_{k=1}^{n} \left(1+10\left(-\frac14\right)^{k-1}\right) = n+ 10\cdot \frac{1-(-1/4)^n}{1-(-1/4)}. \] \[ S_n = n+ 10\cdot \frac{1-(-1/4)^n}{5/4} = n+8\left(1-(-1/4)^n\right). \]

4. Подставим в неравенство:

\[ |n + 8 – 8(-1/4)^n – n – 8| = |-8(-1/4)^n| = 8 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n < \frac{1}{1000}. \]

\[ 4^n > 8000. \]

\( 4^6 = 4096 \), \( 4^7 = 16384 \). Следовательно, наименьшее \( n = 7 \).

Ответ: 7.

Задача 3. Иррациональное логарифмическое неравенство

Критически важно: полная область допустимых значений (ОДЗ) и обоснованный переход к одной базе.

Решение:

\[ 1 + \sqrt{\log_9(3x^2 + 8x + 6)} > \log_3(3x^2 + 8x + 6) \]

1. ОДЗ:

1. \( 3x^2 + 8x + 6 > 0 \) (Аргумент логарифма).
\( D = 64 – 72 = -8 < 0 \), ветви параболы вверх \(\Rightarrow\) верно при любых \( x \in \mathbb{R} \).

2. \( \log_9(3x^2 + 8x + 6) \geq 0 \) (Выражение под корнем).
\( 3x^2 + 8x + 6 \geq 9^0 \Rightarrow 3x^2 + 8x + 5 \geq 0 \).
Корни уравнения \( 3x^2 + 8x + 5 = 0 \): \( x_1 = -1, x_2 = -5/3 \).

ОДЗ: \( x \in (-\infty; -5/3] \cup [-1; +\infty) \).

2. Преобразование:

\[ \log_3(3x^2 + 8x + 6) = 2 \log_{3^2}(3x^2 + 8x + 6) = 2 \log_9(3x^2 + 8x + 6). \]

Пусть \( \sqrt{\log_9(3x^2 + 8x + 6)} = t, \quad t \geq 0 \).

Неравенство принимает вид: \( 1 + t > 2t^2 \Rightarrow 2t^2 – t – 1 < 0 \).

Корни квадратного трехчлена: \( t_1 = 1, \quad t_2 = -1/2 \).

Решение квадратичного неравенства: \( -1/2 < t < 1 \).

С учетом ограничения \( t \geq 0 \), получаем: \( 0 \leq t < 1 \).

3. Обратная замена:

\[ 0 \leq \sqrt{\log_9(3x^2 + 8x + 6)} < 1 \Rightarrow 0 \leq \log_9(3x^2 + 8x + 6) < 1. \]

\[ 9^0 \leq 3x^2 + 8x + 6 < 9^1 \Rightarrow 1 \leq 3x^2 + 8x + 6 < 9. \]

\[ \begin{cases} 3x^2 + 8x + 5 \geq 0 \\ 3x^2 + 8x – 3 < 0 \end{cases} \]

Корни \( 3x^2 + 8x – 3 = 0 \): \( x = \frac{-8 \pm 10}{6} \Rightarrow x_3 = 1/3, \quad x_4 = -3 \).

\[ \begin{cases} x \in (-\infty; -5/3] \cup [-1; +\infty) \\ x \in (-3; 1/3) \end{cases} \]

Ответ: \( x \in (-3; -5/3] \cup [-1; 1/3) \).

Задача 4. Тригонометрическое уравнение

Нюанс: группировка и обоснование деления на \( \cos x \).

Решение:

\[ \sin 2x + 3\cos x = \sqrt{3}(1 + \cos 2x + \sin x) \]

Используем формулу \( 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x \):

\[ 2 \sin x \cos x + 3\cos x = \sqrt{3}(2 \cos^2 x + \sin x) \] \[ 2 \sin x \cos x + 3\cos x – 2\sqrt{3} \cos^2 x – \sqrt{3}\sin x = 0 \]

Группируем слагаемые:

\[ \sin x(2 \cos x – \sqrt{3}) – \sqrt{3} \cos x(2 \cos x – \sqrt{3}) = 0 \] \[ (2 \cos x – \sqrt{3})(\sin x – \sqrt{3} \cos x) = 0 \]

1. \( 2 \cos x – \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\[ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}. \]

2. \( \sin x – \sqrt{3} \cos x = 0 \Rightarrow \text{tg } x = \sqrt{3} \)

\[ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}. \]

(Примечание: деление на \( \cos x \) законно, т.к. если \( \cos x = 0 \), то из уравнения следует \( \sin x = 0 \), что невозможно).

Ответ:

\[ \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \quad \frac{\pi}{3} + \pi n; \quad k, n \in \mathbb{Z}. \] Задача 5. Планиметрия (Геометрия)

Требуется чертеж. На листе: треугольник \( ABC \), медиана \( AD \), точка \( M \) на \( AD \).

Чертеж:

1. Нарисуйте произвольный \( \triangle ABC \).

2. Проведите медиану \( AD \) к стороне \( BC \). Отметьте \( BD = DC \).

3. Поставьте точку \( M \) на \( AD \) так, чтобы отрезок \( AM \) был визуально в 2 раза длиннее \( MD \) (свойство центроида).

4. Соедините \( M \) с вершинами \( B \) и \( C \).

Решение:

Пусть \( BC = 2a \), тогда \( AD = a\sqrt{3} \). По свойству медиан:

\[ MD = \frac{1}{3} AD = \frac{a\sqrt{3}}{3}. \]

В \( \triangle ABC \) по формуле медианы:

\[ AD^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 – a_{bc}^2}{4} \Rightarrow 3a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 – 4a^2}{4} \Rightarrow b^2 + c^2 = 8a^2. \]

По теореме косинусов для \(\triangle ABC\):

\[ BC^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos 45^\circ \Rightarrow 4a^2 = 8a^2 – \sqrt{2} bc \Rightarrow bc = 2\sqrt{2} a^2. \]

В \(\triangle BMC\) медиана \(MD\):

\[ MD^2 = \frac{2MB^2 + 2MC^2 – BC^2}{4} \Rightarrow \frac{3a^2}{9} = \frac{2(MB^2 + MC^2) – 4a^2}{4} \Rightarrow MB^2 + MC^2 = \frac{8}{3} a^2. \]

Также площадь:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} bc \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} a^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2. \]

Площадь \( \triangle BMC = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{a^2}{3}. \)

С другой стороны: \( S_{BMC} = \frac{1}{2} MB \cdot MC \sin \angle BMC. \)

Используя теорему косинусов для \(\triangle BMC\) и значение площади, находим:

\[ \cos \angle BMC = -1/2 \Rightarrow \angle BMC = 120^\circ. \]

Ответ: \( 120^\circ \).

Задача 6

Условие: \( a_i, b_i > 0, \quad \sum a_i = \sum b_i = 3 \). Найти минимум \( \sum \frac{a_i^2}{a_i + b_i} \).

Решение:

Используем неравенство Коши-Буняковского в форме Титу (Лемма Андреску):

\[ \frac{a_1^2}{a_1 + b_1} + \frac{a_2^2}{a_2 + b_2} + \frac{a_3^2}{a_3 + b_3} \geq \frac{(a_1 + a_2 + a_3)^2}{(a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + (a_3 + b_3)} = \frac{3^2}{3 + 3} = 1.5. \]

Равенство достигается, когда выполняется \( \frac{a_1}{a_1 + b_1} = \frac{a_2}{a_2 + b_2} = \frac{a_3}{a_3 + b_3} \). При \( a_i = b_i = 1 \) условие выполняется.

Ответ: 1.5.

Задача 7. Стереометрия

Требуется аналитическое обоснование (координатный метод).

Схема:

Представьте тетраэдр. \( MN \) — отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер \( AC \) и \( BD \). Условие \( AC \perp MN \) и \( BD \perp MN \) означает, что \( MN \) — их общий перпендикуляр.

Решение:

Введем систему координат: начало в середине \( MN \). Ось \( OZ \) направим вдоль \( MN \).
Пусть \( M(0,0,0) \), тогда \( N(0,0,h) \).

Т.к. \( AC \perp OZ \) и \( M \) — середина \( AC \), то \( A(-a, 0, 0), \ C(a, 0, 0) \).
Т.к. \( BD \perp OZ \) и \( N \) — середина \( BD \), то \( B(x, y, h), \ D(-x, -y, h) \).

1. Длина \( AD \):

\[ AD = \sqrt{(-x – (-a))^2 + (-y – 0)^2 + (h – 0)^2} = \sqrt{(a – x)^2 + y^2 + h^2} \]

2. Длина \( DC \):

\[ DC = \sqrt{(a – (-x))^2 + (0 – (-y))^2 + (0 – h)^2} = \sqrt{(a + x)^2 + y^2 + h^2} \]

По условию \( AD + DC = 1 \). Теперь вычислим \( AB \) и \( BC \):

3. Длина \( AB \):

\[ AB = \sqrt{(x – (-a))^2 + (y – 0)^2 + (h – 0)^2} = \sqrt{(x + a)^2 + y^2 + h^2} \]

Заметим, что \( AB = DC \).

4. Длина \( BC \):

\[ BC = \sqrt{(x – a)^2 + (y – 0)^2 + (h – 0)^2} = \sqrt{(x – a)^2 + y^2 + h^2} \]

Заметим, что \( BC = AD \).

Следовательно, \( AB + BC = DC + AD = 1 \).

Ответ: 1.