I. Область допустимых значений (ОДЗ) Выражение \((\sqrt{x+2})^2\) определено при условии:
\[ x + 2 \ge 0 \iff x \ge -2 \]
При этом условия для остальных радикалов (\((2x+3)^2 \ge 0\) и \((x+3)^2 \ge 0\)) выполняются при всех \(x \in \mathbb{R}\). Таким образом, ОДЗ: \(x \in [-2; +\infty)\).
II. Преобразование левой части Используя тождество \(\sqrt{a^2} = |a|\) и учитывая, что на ОДЗ выражение \((\sqrt{x+2})^2 = x+2\), имеем:
\[ |2x+3| + |x+3| + x + 2 \]
Заметим, что если \(x \ge -2\), то \(x + 3 \ge 1 > 0\). Следовательно, \(|x+3| = x+3\). Левая часть принимает вид:
\[ |2x+3| + x + 3 + x + 2 = |2x+3| + 2x + 5 \]
III. Упрощение правой части Рассмотрим \(C = \sqrt{4 + \sqrt{12}} – \sqrt{4 – \sqrt{12}}\). Заметим, что \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). Тогда подкоренные выражения можно представить в виде полных квадратов:
\[ 4 \pm 2\sqrt{3} = 3 \pm 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3} \pm 1)^2 \]
Следовательно:
\[ C = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} – \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}+1| – |\sqrt{3}-1| \]
Так как \(\sqrt{3} > 1\), оба модуля раскрываются со знаком «плюс»:
\[ C = (\sqrt{3}+1) – (\sqrt{3}-1) = 2 \]
IV. Решение уравнения на ОДЗ Уравнение принимает вид:
\[ |2x+3| + 2x + 5 = 2 \iff |2x+3| = -(2x+3) \]
Равенство \(|a| = -a\) выполняется тогда и только тогда, когда \(a \le 0\). Следовательно:
\[ 2x + 3 \le 0 \iff x \le -1.5 \]
V. Учет ОДЗ и формирование ответа Объединим полученное условие с ОДЗ:
\[ \begin{cases} x \le -1.5 \\ x \ge -2 \end{cases} \iff -2 \le x \le -1.5 \]
Ответ: \( x \in [-2; -1.5] \)
Задача 2
Укажите наименьшее положительное значение \(a\), при котором неравенство
\[ 3^{5-\frac{1}{x}} \ge a + \sin 4^x \]
не имеет ни одного решения при \(x > 0\).
Решение задачи с параметром (Вариант В-2)
Условие: Найти наименьшее \( a > 0 \), при котором неравенство
\( 3^{5-\frac{1}{x}} \ge a + \sin 4^x \)
не имеет решений при \( x > 0 \).
1. Логическое обоснование Отсутствие решений исходного неравенства на множестве \( x \in (0; +\infty) \) равносильно тому, что для всех \( x > 0 \) выполняется строго противоположное неравенство:
\[ a + \sin 4^x > 3^{5-\frac{1}{x}} \]
Выразим параметр \( a \):
\[ a > 3^{5-\frac{1}{x}} – \sin 4^x \]
Пусть \( f(x) = 3^{5-\frac{1}{x}} – \sin 4^x \). Условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда параметр \( a \) строго больше любого значения функции \( f(x) \) на промежутке \( (0; +\infty) \). Это означает:
\[ a \ge \sup_{x > 0} f(x) \]
(Заметим: если \( \sup f(x) \) не достигается функцией, то \( a \) может быть равен этому значению).
2. Оценка компонентов функции Рассмотрим функции \( g(x) = 3^{5-\frac{1}{x}} \) и \( h(x) = -\sin 4^x \) при \( x > 0 \):
Функция \( g(x) \) является монотонно возрастающей на \( (0; +\infty) \), так как \( -1/x \) возрастает. При этом:
\[ \lim_{x \to +\infty} (5 – \tfrac{1}{x}) = 5 \implies \sup_{x > 0} g(x) = 3^5 = 243. \]
Важно: \( g(x) < 243 \) для любого \( x > 0 \).
Аргумент функции \( \sin 4^x \) при \( x \in (0; +\infty) \) принимает значения из интервала \( (1; +\infty) \). Так как длина этого интервала бесконечна, функция \( \sin 4^x \) принимает все значения из отрезка \( [-1; 1] \). Следовательно:
\[ \sup_{x > 0} (-\sin 4^x) = 1. \]
Это значение достигается в точках \( 4^x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{N} \).
3. Поиск точной верхней грани функции \( f(x) \) Покажем, что \( \sup f(x) = 243 + 1 = 244 \). С одной стороны, \( f(x) = g(x) + h(x) < 243 + 1 = 244 \) для всех \( x > 0 \). С другой стороны, для любого \( \varepsilon > 0 \) мы можем выбрать достаточно большое \( x_k \), такое что \( g(x_k) > 243 – \frac{\varepsilon}{2} \), и при этом \( h(x_k) = 1 \) (выбрав соответствующее \( k \) в формуле \( 4^{x_k} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \)). Тогда \( f(x_k) > 244 – \frac{\varepsilon}{2} \). Значит, \( \sup_{x > 0} f(x) = 244 \).
4. Финальный вывод Так как \( f(x) < 244 \) при всех \( x > 0 \), то условие \( a > f(x) \) выполняется при всех \( a \ge 244 \). Наименьшее положительное значение \( a \) равно 244.
Ответ: 244
Задача 3
Условие: В окружность радиуса \( R = 4 \) вписан четырёхугольник, три стороны которого равны \( a=4, b=4, c=4\sqrt{2} \). Найдите максимально возможную площадь такого четырёхугольника.
Решение геометрической задачи В-2 (Олимпиада «Ломоносов»)
1. Нахождение центральных углов Пусть \( R = 4 \). Стороны четырёхугольника стягивают дуги, соответствующие центральным углам \( \alpha, \beta, \gamma \). Из формулы хорды \( a = 2R \sin(\phi/2) \):
Случай А (Центр внутри): Четвёртая сторона соответствует углу \( \delta = 360^\circ – 210^\circ = 150^\circ \). Площадь равна сумме площадей треугольников:
Случай Б (Центр снаружи): Три хорды лежат по одну сторону от центра. Четвёртая сторона стягивает дугу \( \delta = 210^\circ \). Площадь вычисляется как разность:
3. Выбор максимума Очевидно, что \( 12 + 8\sqrt{3} > 4 + 8\sqrt{3} \). Таким образом, искомая площадь соответствует конфигурации, когда центр окружности лежит внутри четырёхугольника.
Ответ: \( 12 + 8\sqrt{3} \)
Задача 4
Условие: Найти все решения уравнения на отрезке \([0.3; 1.8]\):
1. Обоснование метода Равенство функций при всех \( x \in \mathbb{R} \) означает тождественное равенство соответствующих многочленов. Следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях \( x \) должны совпадать.
2. Составление системы уравнений Приравнивая коэффициенты при \( x^2, x^1, x^0 \), получаем:
Искомая сумма: \( (a_1+b_1) + (a_2+b_2) + (a_3+b_3) = S + S + S = 3S \).
\( 3 \times 12 = 36 \)
Задача 6
В-2 Газонная поливалка равномерно разбрызгивает вокруг себя воду в круге радиуса \( \frac{1}{2+\sqrt{2}} \). На границе этого круга расположена другая такая же поливалка. А ровно посередине между двумя поливалками находится вход в нору. Мышь, хозяйка норы, хочет вернуться домой, но не хочет сильно вымокнуть.
Найдите длину пути, на котором мышь намокнет меньше всего.
Мышь может менять направление бега, но её скорость постоянна, и под душем двух поливалок мышь мокнет вдвое быстрее.
Решение:
1. Математическая модель Пусть \( R = \frac{1}{2+\sqrt{2}} \). Введём систему координат: \( O_1(0,0) \) — центр первой поливалки, \( O_2(R,0) \) — центр второй. Вход в нору \( M \) находится в точке \( (R/2, 0) \). Пусть мышь входит в область пересечения кругов в точке \( P(x, y) \) на границе второго круга: \( (x-R)^2 + y^2 = R^2 \).
2. Определение участков пути
\( L_1 \): путь от границы первого круга до \( P \). Для минимизации он должен быть радиальным:
\( L_1 = R – \sqrt{x^2 + y^2} = R – \sqrt{2xR} \)
\( L_2 \): путь от \( P \) до норы \( M \). Длина отрезка прямой:
\( L = L_1 + L_2 = \left( R – \frac{R}{\sqrt{2}} \right) + \frac{R}{\sqrt{2}} = R = \frac{1}{2+\sqrt{2}} \)
Ответ: \( \frac{1}{2+\sqrt{2}} \)
Задача 7
Решение стереометрической задачи В-2 (Олимпиада «Ломоносов»)
В-2 Первооткрыватель летел над джунглями на вертолёте и заметил забытый храм инков. Храм выстроен в форме правильной усечённой пирамиды с квадратными основаниями — сторона нижнего основания равна 256 и.е., сторона верхней площадки равна 8 и.е. (и.е. — инкские единицы длины). Высоту храма путешественник измерить не сумел, поэтому посадил вертолёт на верхней площадке и начал спускаться по боковой поверхности пирамиды, начиная от угла. Спускался он не напрямую — склон для этого слишком крут — а наискосок, по линии, угол наклона которой к поверхности земли равен 45°. Когда он добирался до бокового ребра, он переходил через ребро и шёл по следующей грани, под таким же углом 45° к поверхности земли.
Он закончил спуск ровно у вершины нижнего основания пирамиды, насчитав по пути 5 сторон (иными словами, его путь выглядит как ломаная, и в этой ломаной получилось 5 отрезков). Какой высоты (в и.е.) был храм?
Решение:
1. Обоснование метода проекций Пусть \( H \) — искомая высота. По условию, путь образует угол \( \alpha = 45^\circ \) с плоскостью основания в любой своей точке. Это означает, что вертикальная скорость спуска \( v_z \) равна величине горизонтальной проекции скорости \( v_{hor} \), так как \( \tan 45^\circ = 1 \). Отсюда следует важнейший вывод: высота пирамиды \( H \) численно равна длине проекции всего пути на плоскость основания.
2. Анализ проекции пути на основание Проекция верхнего основания — квадрат со стороной \( a = 8 \), проекция нижнего — квадрат со стороной \( b = 256 \). Центры квадратов совпадают. Расстояния от центра до вершин:
Путь состоит из 5 отрезков, каждый из которых соединяет два соседних боковых ребра. В проекции это 5 отрезков, соединяющих лучи, выходящие из центра под углом \( 90^\circ \) друг к другу.
3. Геометрическая прогрессия расстояний Пусть \( r_n \) — расстояние от центра до вершины в проекции после \( n \)-го отрезка. Поскольку угол наклона к основанию постоянен, путь на каждой грани «поворачивает» на \( 90^\circ \) в проекции. Из подобия треугольников на гранях следует, что расстояния \( r_n \) образуют геометрическую прогрессию:
\[ r_n = r_0 \cdot q^n \]
Для 5 отрезков: \( r_5 = r_0 \cdot q^5 \). Подставим значения:
В-2 Через три стороны правильного \( 32 \)-угольника проводят прямые.
Стороны выбирают так, что прямые пересекаются друг с другом, и исходный многоугольник
лежит внутри полученного треугольника.
Сколько попарно неравных треугольников может получиться? Равными считаются треугольники,
которые можно совместить поворотом или отражением.
Решение:
Пусть выбранные стороны многоугольника имеют номера \( i, j, k \). Между ними располагаются группы из \( x, y, z \) сторон.
Так как всего сторон \( 32 \), а три выбраны, имеем базовое уравнение:
\[ x + y + z = 32 – 3 = 29, \quad x, y, z \ge 0, \quad x, y, z \in \mathbb{Z} \]
1. Геометрическое обоснование ограничений
Чтобы исходный правильный многоугольник лежал внутри полученного треугольника, необходимо и достаточно, чтобы центр многоугольника находился внутри этого треугольника. Это гарантирует, что каждая из дуг между выбранными сторонами составляет менее половины периметра (менее \( 180^\circ \)).
Количество сторон в каждой из трех дуг (включая одну выбранную сторону) равно \( x+1 \), \( y+1 \) и \( z+1 \).
Следовательно, должны выполняться неравенства:
\[
\begin{cases}
x + 1 < 16 \\
y + 1 < 16 \\
z + 1 < 16
\end{cases}
\implies x, y, z \le 14
\]
Заметим, что так как сумма любых двух переменных не превышает \( 14 + 14 = 28 \), а их общая сумма \( 29 \), третья переменная автоматически будет больше или равна \( 1 \).
2. Комбинаторный подсчет с учетом симметрии
Треугольники считаются равными, если они совмещаются поворотом или отражением. Это означает, что нам нужно найти количество неупорядоченных наборов \( \{x, y, z\} \).
Для исключения повторов положим \( 1 \le x \le y \le z \le 14 \).
Проведем систематический перебор по значению \( z \):
1) \( z = 14 \): \( x + y = 15 \). Пары \( (x, y) \), где \( 1 \le x \le y \le 14 \): (1, 14), (2, 13), (3, 12), (4, 11), (5, 10), (6, 9), (7, 8). (7 вариантов).
2) \( z = 13 \): \( x + y = 16 \). Пары \( (x, y) \), где \( 3 \le x \le y \le 13 \): (3, 13), (4, 12), (5, 11), (6, 10), (7, 9), (8, 8). (6 вариантов).
3) \( z = 12 \): \( x + y = 17 \). Пары \( (x, y) \), где \( 5 \le x \le y \le 12 \): (5, 12), (6, 11), (7, 10), (8, 9). (4 варианта).
4) \( z = 11 \): \( x + y = 18 \). Пары \( (x, y) \), где \( 7 \le x \le y \le 11 \): (7, 11), (8, 10), (9, 9). (3 варианта).
5) \( z = 10 \): \( x + y = 19 \). Пары \( (x, y) \), где \( 9 \le x \le y \le 10 \): (9, 10). (1 вариант).
При \( z \le 9 \) решений нет, так как \( x+y+z \le 9+9+9 = 27 < 29 \).
