Задача 1
1. Введем обозначения. Пусть \(v\) (км/ч) — собственная скорость каждого из катеров. По условию задачи скорость течения реки \(v_{т} = 2\) км/ч.
Поскольку первый катер идет от \(A\) вниз по течению, течение направлено от \(A\) к \(B\). Тогда:
- Скорость первого катера: \(v_1 = v + 2\)
- Скорость второго катера (до разворота): \(v_2 = v – 2\)
- Скорость плота (всегда равна скорости течения): \(v_p = 2\)
2. Пусть \(t_1\) — время (в часах) от момента старта (9:00) до момента встречи катеров. Суммарное расстояние, пройденное катерами до встречи, равно расстоянию между пристанями \(S_{AB} = 69\) км.
3. В момент встречи \(t_1\) второй катер находился на расстоянии \(d_2\) от пристани \(B\):
4. После встречи второй катер разворачивается. Теперь он движется вниз по течению (от \(A\) к \(B\)) со скоростью \((v + 2)\). Плот всё это время двигался от пристани \(B\) по течению (удаляясь от \(A\)).
Заметим, что плот движется в ту же сторону, что и катера от \(A\) к \(B\). Общее время движения до 12:00 составляет \(T = 12 – 9 = 3\) часа.
Координата плота относительно \(B\) в 12:00: \(S_p = 2 \times 3 = 6\) км.
Расстояние, которое прошел второй катер после разворота до момента 12:00 (время движения \((3 – t_1)\)):
Поскольку катер встретил плот, пройденный им путь назад за вычетом расстояния, на которое он успел уйти от \(B\) до встречи с первым катером, должен быть равен пути плота от \(B\):
5. Решим полученное уравнение, подставив \(t_1 = \frac{69}{2v}\):
Вернемся к раскрытию скобок:
\[ 3v + 6 – 2vt_1 = 6 \] \[ 3v = 2vt_1 \]Подставляем значение \(2vt_1 = 69\):
Проверка: При \(v = 23\), \(t_1 = 69/46 = 1.5\) ч. Координата встречи относительно \(B\) — \(21 \times 1.5 = 31.5\) км. После разворота за \(1.5\) ч катер пройдет \(25 \times 1.5 = 37.5\) км. Итоговая позиция: \(37.5 – 31.5 = 6\) км от \(B\). Плот за \(3\) ч пройдет \(2 \times 3 = 6\) км. Совпадает.
Задача 2
1. Рассмотрим первый множитель \(f(x) = |x + |x + |x|||\). Раскроем внутренние модули:
2. Рассмотрим второй множитель \(g(y) = ||| – y| – y| – y|\). Заметим, что \(|-y| = |y|\):
3. Наше уравнение имеет вид \(f(x) \cdot g(y) = 2024\). Проверим число 2024 на делимость на 3. Сумма цифр \(2+0+2+4=8\), значит 2024 не делится на 3. Это упрощает поиск решений:
- Если бы \(x > 0\) или \(y < 0\), в левой части появился бы множитель 3, что невозможно.
- Следовательно, \(x \le 0\) и \(y \ge 0\).
4. Уравнение сводится к расчету абсолютных величин:
5. Нам нужно минимизировать сумму \(|x| + |y|\). Для этого множители должны быть максимально близки друг к другу:
Ближайшие целые делители числа 2024 — это 44 и 46. Проверим: \(44 \times 46 = 2024\).
Задача 3
1. Примем ребро куба за \(a = 1\). Тогда объем куба \(V_{куба} = 1\). Центр куба находится в начале координат \((0, 0, 0)\).
2. Вершины исходного октаэдра — центры граней куба: \((\pm 0.5, 0, 0)\), \((0, \pm 0.5, 0)\), \((0, 0, \pm 0.5)\). Расстояние от центра до вершин \(R_0 = 0.5\).
3. После увеличения в \(k = 1.4\) (\(\frac{7}{5}\)) раза, расстояние до вершин становится:
4. Уравнение поверхности такого октаэдра: \(|x| + |y| + |z| = 0.7\). Поскольку \(0.7 > 0.5\), вершины октаэдра выходят за пределы куба. Нам нужно найти объем части октаэдра, находящейся внутри куба (где \(|x|, |y|, |z| \le 0.5\)).
5. Общий объем увеличенного октаэдра:
6. Вычислим объем одной «пирамидки», вышедшей за пределы грани \(x = 0.5\). Высота этой пирамидки \(h = 0.7 – 0.5 = 0.2\). Основание — квадрат на плоскости \(x = 0.5\), задаваемый \(|y| + |z| \le 0.7 – 0.5 = 0.2\). Площадь основания \(S_{осн} = \frac{(2 \cdot 0.2)^2}{2} = 0.08\).
7. Из куба удален объем октаэдра за вычетом 6 таких пирамидок:
8. Находим долю оставшегося объема куба:
9. Число 431 является простым, дробь несократима. Сумма числителя и знаменателя:
Задача 4
1. Вспомним связь между \(n\)-м членом последовательности \(a_n\) и суммой её первых членов \(S_n\). Для любого \(n > 1\) справедливо соотношение:
2. Найдем общую формулу для \(a_n\), подставив заданное выражение для \(S_n\):
3. Упростим выражение, вынеся за скобки множитель с наименьшим показателем степени:
4. Вычислим значения 10-го и 5-го членов последовательности:
- Для \(n = 5\): \(a_5 = 3 \cdot 4^{5-2} = 3 \cdot 4^3\)
- Для \(n = 10\): \(a_{10} = 3 \cdot 4^{10-2} = 3 \cdot 4^8\)
5. Найдем, во сколько раз \(a_{10}\) больше \(a_5\):
6. Чтобы найти, на сколько процентов одно число больше другого, воспользуемся формулой:
Задача 5
1. Расстояния между центрами кругов. Так как круги пересекаются ортогонально, расстояние между их центрами \(d\) находится по теореме Пифагора \(d = \sqrt{R^2 + r^2}\):
- Между 1-м и 2-м: \(d_{12} = \sqrt{11^2 + 9^2} = \sqrt{121 + 81} = \sqrt{202} \approx 14.213\)
- Между 2-м и 3-м: \(d_{23} = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} \approx 10.817\)
2. Положение ведра на голове. Нижнее основание ведра (трапеции) имеет длину \(a = 9\). Радиус головы \(R_3 = 6\) (диаметр 12). Ведро опирается на голову этой стороной как хордой. Расстояние \(h_{хорда}\) от центра головы до основания ведра:
3. Высота ведра. Трапеция со сторонами 9, 9, 9, 5 является равнобочной. Основания \(a=9\) и \(b=5\), боковая сторона \(c=9\). Высота трапеции \(h_{тр}\):
4. Итоговая высота снеговика. Суммируем все вертикальные отрезки от нижней точки нижнего круга до крышки ведра:
5. Вычисления:
При округлении до десятых получаем 48.8.
Задача 6
1. Сделаем замену переменной. Пусть \(t = \sin \alpha\). Так как \(\alpha\) — угол треугольника, то \(t \in (0, 1)\). Используем формулу двойного угла \(\cos 2\alpha = 1 – 2\sin^2 \alpha = 1 – 2t^2\).
Преобразуем выражение под корнем \(f(t)\):
Преобразуем правую часть неравенства \(g(t)\):
2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства, решив \(f(t) \geqslant 0\):
Следовательно, \(f(t) \geqslant 0\) при \(t \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}]\). Учитывая \(t > 0\), получаем \(t \in (0, 1/2]\).
3. Решим неравенство \(\sqrt{f(t)} \geqslant g(t)\) на интервале \(t \in (0, 1/2]\):
- Проверим правую часть \(g(t) = -6t^2 + 7t – 2\). Корни уравнения \(g(t)=0\) равны \(1/2\) и \(2/3\). При \(t < 1/2\) выражение \(g(t) < 0\).
- Поскольку в области \(t \in (0, 1/2)\) левая часть \(\sqrt{f(t)} \geqslant 0\), а правая \(g(t) < 0\), неравенство выполняется для всех \(t\) из этого интервала.
- При \(t = 1/2\): \(f(1/2) = 0\) и \(g(1/2) = 0\). Неравенство \(0 \geqslant 0\) верно.
Для \(t > 1/2\) корень не определен (ОДЗ нарушено). Таким образом, решение неравенства: \(0 < \sin \alpha \leqslant 1/2\).
4. Перейдем к углам. Из \(\sin \alpha \leqslant 1/2\) следует, что \(\alpha \in (0^\circ, 30^\circ] \cup [150^\circ, 180^\circ)\).
5. Геометрическое ограничение: По условию \(\alpha\) — наименьший угол треугольника. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Если \(\alpha\) — наименьший угол, то \(3\alpha \leqslant 180^\circ \implies \alpha \leqslant 60^\circ\).
С учетом этого ограничения (\(\alpha \leqslant 60^\circ\)) и решения неравенства (\(\alpha \leqslant 30^\circ\)), максимально возможное значение угла \(\alpha\) составляет \(30^\circ\).
Задача 7
1. Упрощение уравнения. Правая часть уравнения по основному тригонометрическому тождеству равна \(1\). Для левой части воспользуемся формулой синуса тройного угла:
2. Применим эту формулу к каждой скобке в левой части:
3. ОДЗ и сокращение. После сокращения телескопического произведения получаем уравнение:
Важное условие (ОДЗ): \(\sin x, \sin 3x, \sin 9x, \sin 27x \neq 0\).
4. Решение уравнения \(\sin 81x = \sin x\):
- Случай 1: \(81x = x + 360^\circ k\)\[ 80x = 360^\circ k \implies x = 4.5^\circ k \]Отберем \(x \in [0^\circ, 10^\circ]\):
— \(k=0: x=0^\circ\) (не входит в ОДЗ, так как \(\sin 0 = 0\)).
— \(k=1: x=4.5^\circ\) (входит в ОДЗ).
— \(k=2: x=9^\circ\) (входит в ОДЗ). - Случай 2: \(81x = 180^\circ – x + 360^\circ k\)\[ 82x = 180^\circ + 360^\circ k \implies x = \frac{90^\circ + 180^\circ k}{41} \]Отберем \(x \in [0^\circ, 10^\circ]\):
— \(k=0: x = \frac{90}{41}^\circ \approx 2.19^\circ\) (входит в ОДЗ).
— \(k=1: x = \frac{270}{41}^\circ \approx 6.58^\circ\) (входит в ОДЗ).
— \(k=2: x = \frac{450}{41}^\circ \approx 10.97^\circ\) (вне интервала).
5. Нахождение суммы корней:
6. Проверка на взаимную простоту: Число 1827 делится на 3, 9, 7 и 29. Число 82 делится на 2 и 41. Общих делителей нет. Значит, \(m = 1827\), \(n = 82\).
Задача 8
1. Преобразование первого уравнения. Заметим ОДЗ: \(y \neq 0\) и \(x + 2y \ge 0\). Умножим обе части первого уравнения на \(y\):
Пусть \(t = \sqrt{x + 2y}\) (\(t \ge 0\)). Получаем квадратное уравнение относительно \(t\):
2. Анализ случаев:
- Случай А: \(t = 3y\) (возможно при \(y > 0\)). Тогда \(x + 2y = 9y^2 \implies x = 9y^2 – 2y\).
Подставим во второе уравнение:\[ \sqrt{x + 3y + 4y} = x + 7y – 2 \implies \sqrt{x + 7y} = x + 7y – 2 \]Пусть \(u = \sqrt{x + 7y}\) (\(u \ge 0\)). Тогда \(u = u^2 – 2 \implies u^2 – u – 2 = 0\).
Корни: \(u = 2\) или \(u = -1\) (пост.). Значит, \(x + 7y = 4\).
Подставляем \(x = 9y^2 – 2y\):\[ 9y^2 – 2y + 7y = 4 \implies 9y^2 + 5y – 4 = 0 \] \[ D = 25 + 144 = 169 = 13^2 \implies y = \frac{-5 \pm 13}{18} \]Так как \(y > 0\), подходит только \(y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}\). Тогда \(x_1 = 4 – 7 \cdot \frac{4}{9} = \frac{8}{9}\). - Случай Б: \(t = -2y\) (возможно при \(y < 0\)). Тогда \(x + 2y = 4y^2 \implies x = 4y^2 - 2y\).
Подставим во второе уравнение:\[ \sqrt{x – 2y + 4y} = x + 7y – 2 \implies \sqrt{x + 2y} = x + 7y – 2 \]Так как \(\sqrt{x + 2y} = -2y\), получаем:\[ -2y = x + 7y – 2 \implies x = -9y + 2 \]Подставляем в \(x + 2y = 4y^2\):\[ -9y + 2 + 2y = 4y^2 \implies 4y^2 + 7y – 2 = 0 \implies D = 81 \]Тогда \(x_2 = -9(-2) + 2 = 20\).
3. Итоговая сумма: Система имеет две точки решения: \((\frac{8}{9}, \frac{4}{9})\) и \((20, -2)\). Сумма всех \(x\):
Округляя до сотых по правилам математики, получаем 20.89.