Вариант ДВИ по математике МГУ 2024

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова

Дополнительное вступительное испытание по математике

ВАРИАНТ 242

Найдите целое число, задаваемое выражением
\[ \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}} + \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}} \]
Найдите сумму всех натуральных чисел \( n \), для которых число \( n^2 + 7n + 1 \) является квадратом некоторого натурального числа.
Решите неравенство
\[ 8^{\log_{x^2-1}(x-1)} + 8^{\log_{x^2-1}(x+1)} \leqslant 6 \]
Решите уравнение
\[ \sin x + \sin 2x + \cos x = 1 \]
Вокруг остроугольного треугольника \( ABC \) описана окружность. На дуге \( CA \) (не содержащей точку \( B \)) этой окружности отмечена некоторая точка \( P \). Прямая, проходящая через точки \( B \) и \( H \), где \( H \) — точка пересечения высот треугольника \( ABC \), пересекает отрезок \( AP \) в точке \( Q \). Найдите отношение \( AC \) к \( BC \), если известно, что точки \( C, P, Q, H \) лежат на одной окружности.
Число \( x_0 \) является общим корнем многочленов \( x^3 + ax^2 + bx + c \), \( x^3 + bx^2 + cx + a \), \( x^3 + cx^2 + ax + b \). Найдите все возможные значения \( x_0 \), если известно, что \( a > b > c \).
В основании пирамиды лежит трапеция \( ABCD \), \( AD \parallel BC \), \( AD = 2BC \). Сфера радиуса 1 касается плоскости основания пирамиды и плоскостей её боковых граней \( ADS \) и \( BCS \). Найдите отношение, в котором делит объём пирамиды плоскость \( ADT \), где \( T \) — точка касания сферы с плоскостью \( BCS \), если грань \( ADS \) перпендикулярна плоскости основания, а высота пирамиды равна 4.

Решение варианта ДВИ по математике (МГУ 2024):

1. Нахождение значения выражения

Чтобы найти целое число, задаваемое выражением, преобразуем каждое слагаемое по отдельности, избавляясь от иррациональности в знаменателе.

Шаг 1: Преобразование первого слагаемого

Умножим числитель и знаменатель дроби под первым корнем на \( (3 – \sqrt{5}) \), чтобы в знаменателе получить разность квадратов:

\[ \sqrt{\frac{3 – \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}} = \sqrt{\frac{(3 – \sqrt{5})(3 – \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 – \sqrt{5})}} = \sqrt{\frac{(3 – \sqrt{5})^2}{3^2 – (\sqrt{5})^2}} = \sqrt{\frac{(3 – \sqrt{5})^2}{9 – 5}} = \sqrt{\frac{(3 – \sqrt{5})^2}{4}} \]

Так как \( 3 > \sqrt{5} \) (поскольку \( 3 = \sqrt{9} \)), то \( 3 – \sqrt{5} > 0 \). Извлекаем корень:

\[ \frac{3 – \sqrt{5}}{2} \]

Шаг 2: Преобразование второго слагаемого

Аналогично поступим со вторым слагаемым, умножив числитель и знаменатель под корнем на \( (3 + \sqrt{5}) \):

\[ \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{3 – \sqrt{5}}} = \sqrt{\frac{(3 + \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{(3 – \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}} = \sqrt{\frac{(3 + \sqrt{5})^2}{3^2 – (\sqrt{5})^2}} = \sqrt{\frac{(3 + \sqrt{5})^2}{4}} \]

Так как \( 3 + \sqrt{5} > 0 \), извлекаем корень:

\[ \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \]

Шаг 3: Сложение результатов

Сложим полученные значения:

\[ \frac{3 – \sqrt{5}}{2} + \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 – \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Ответ: 3

2. Нахождение натуральных n для квадратичного выражения

Пусть \( n^2 + 7n + 1 = k^2 \), где \( k \in \mathbb{N} \). Нам необходимо найти все натуральные \( n \), удовлетворяющие этому условию.

Шаг 1: Оценка выражения

Заметим, что для любого натурального \( n \):

\[ n^2 + 7n + 1 < n^2 + 8n + 16 = (n+4)^2 \]

Однако для получения точного результата воспользуемся методом умножения обеих частей на 4, чтобы выделить полный квадрат:

\[ 4n^2 + 28n + 4 = 4k^2 \] \[ (2n+7)^2 – 45 = (2k)^2 \] \[ (2n+7)^2 – (2k)^2 = 45 \]

Шаг 2: Разложение на множители

Используя формулу разности квадратов, перейдем к системе уравнений в натуральных числах:

\[ (2n + 7 – 2k)(2n + 7 + 2k) = 45 \]

Так как \( n, k \in \mathbb{N} \), то \( (2n + 7 + 2k) \) — натуральное число, большее \( (2n + 7 – 2k) \). Рассмотрим все возможные разложения числа 45 на два множителя \( a \cdot b = 45 \), где \( b > a \):

\( a = 1, b = 45 \)
\( a = 3, b = 15 \)
\( a = 5, b = 9 \)

Шаг 3: Решение систем уравнений

Складывая \( 2n + 7 – 2k = a \) и \( 2n + 7 + 2k = b \), получаем \( 4n + 14 = a + b \), откуда \( 4n = a + b – 14 \).

Случай 1: \( 4n = 1 + 45 – 14 = 32 \Rightarrow n = 8 \).
Случай 2: \( 4n = 3 + 15 – 14 = 4 \Rightarrow n = 1 \).
Случай 3: \( 4n = 5 + 9 – 14 = 0 \Rightarrow n = 0 \). Но \( n \) должно быть натуральным (\( n \in \mathbb{N} \)), поэтому \( n = 0 \) не подходит.

Шаг 4: Нахождение суммы

Подходящие значения \( n \): 1 и 8. Их сумма равна:

\[ 1 + 8 = 9 \]

Ответ: 9

3. Логарифмическое неравенство с переменным основанием

Решим неравенство: \[ 8^{\log_{x^2-1}(x-1)} + 8^{\log_{x^2-1}(x+1)} \leqslant 6 \]

Шаг 1: Нахождение ОДЗ

Аргументы логарифмов должны быть положительны, а основание — положительно и не равно единице:

\[ \begin{cases} x-1 > 0 \\ x+1 > 0 \\ x^2-1 > 0 \\ x^2-1 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > -1 \\ x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \\ x^2 \neq 2 \end{cases} \Rightarrow x \in (1, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty) \]

Шаг 2: Преобразование выражения

Заметим, что основание логарифмов \( x^2-1 = (x-1)(x+1) \). Используем свойство перехода к новому основанию:

\[ \log_{x^2-1}(x-1) + \log_{x^2-1}(x+1) = \log_{x^2-1}((x-1)(x+1)) = \log_{x^2-1}(x^2-1) = 1 \]

Пусть \( a = 8^{\log_{x^2-1}(x-1)} \) и \( b = 8^{\log_{x^2-1}(x+1)} \). Тогда из предыдущего равенства следует:

\[ a \cdot b = 8^{\log_{x^2-1}(x-1) + \log_{x^2-1}(x+1)} = 8^1 = 8 \]

Шаг 3: Решение через замену

Исходное неравенство принимает вид \( a + b \leqslant 6 \), при условии \( ab = 8 \). Подставим \( b = 8/a \):

\[ a + \frac{8}{a} \leqslant 6 \Rightarrow \frac{a^2 – 6a + 8}{a} \leqslant 0 \]

Так как \( a = 8^{\text{показатель}} > 0 \), неравенство сводится к квадратному:

\[ a^2 – 6a + 8 \leqslant 0 \Rightarrow (a-2)(a-4) \leqslant 0 \Rightarrow 2 \leqslant a \leqslant 4 \]

Шаг 4: Обратная замена и анализ случаев

Вернемся к переменной \( x \):

\[ 2 \leqslant 8^{\log_{x^2-1}(x-1)} \leqslant 4 \Rightarrow \frac{1}{3} \leqslant \log_{x^2-1}(x-1) \leqslant \frac{2}{3} \]

Рассмотрим основной случай \( x^2-1 > 1 \), то есть \( x > \sqrt{2} \). Тогда логарифмическая функция возрастает, и неравенство равносильно системе:

\[ (x^2-1)^{1/3} \leqslant x-1 \leqslant (x^2-1)^{2/3} \]

Решим левую часть \( (x^2-1)^{1/3} \leqslant x-1 \), возведя в куб (обе части положительны при \( x > \sqrt{2} \)):

\[ x^2-1 \leqslant (x-1)^3 \Rightarrow x^2-1 \leqslant x^3 – 3x^2 + 3x – 1 \]

\[ x^3 – 4x^2 + 3x \geqslant 0 \Rightarrow x(x-1)(x-3) \geqslant 0 \]

С учетом условия \( x > \sqrt{2} \), множители \( x \) и \( (x-1) \) всегда положительны. Следовательно:

\[ x-3 \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 3 \]

Проверка правой части \( x-1 \leqslant (x^2-1)^{2/3} \) и случая \( 1 < x < \sqrt{2} \) показывает, что новых решений не добавляется.

Ответ: \( [3, +\infty) \)

4. Решение тригонометрического уравнения (Метод замены)

Решим уравнение: \[ \sin x + \cos x + \sin 2x = 1 \]

Шаг 1: Введение новой переменной

Пусть \( t = \sin x + \cos x \). Для нахождения области значений \( t \) используем метод вспомогательного угла:

\[ t = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow t \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \]

Возведем выражение для \( t \) в квадрат:

\[ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x \] \[ \sin 2x = t^2 – 1 \]

Шаг 2: Решение алгебраического уравнения

Подставим \( t \) и \( \sin 2x \) в исходное уравнение:

\[ t + (t^2 – 1) = 1 \Rightarrow t^2 + t – 2 = 0 \]

По теореме Виета корни уравнения: \( t_1 = 1 \) и \( t_2 = -2 \).

С учетом ограничения \( t \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \), корень \( t_2 = -2 \) не подходит, так как \( -2 < -\sqrt{2} \).

Шаг 3: Обратная замена

Решим уравнение \( \sin x + \cos x = 1 \):

\[ \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Rightarrow \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Это дает две серии решений:

\[ 1) \ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ 2) \ x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( 2\pi k; \ \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

5. Геометрическая задача: Отношение сторон AC к BC

Этапы построения:

Построить остроугольный \(\triangle ABC\) и его описанную окружность \(\Omega\).
Отметить точку \(H\) — точку пересечения высот (ортоцентр).
Выбрать точку \(P\) на дуге \(CA\), не содержащей \(B\).
Провести прямую \(BH\), отметить её пересечение с отрезком \(AP\) как точку \(Q\).
Соединить \(C, P, Q, H\) и учесть, что они лежат на одной окружности \(\omega\).

Шаг 1: Свойство вписанного четырехугольника \(CPQH\)

Так как точки \(C, P, Q, H\) лежат на окружности \(\omega\), сумма противоположных углов равна \(180^\circ\):

\[ \angle HQC + \angle HPC = 180^\circ \quad (1) \]

Угол \(\angle HPC\) вписан в окружность \(\Omega\) и опирается на ту же дугу \(AC\), что и угол \(\angle ABC\). Обозначим \(\angle ABC = \beta\). Тогда \(\angle HPC = \beta\). Подставляя в (1):

\[ \angle HQC = 180^\circ – \beta \Rightarrow \angle AQC = 180^\circ – \angle HQC = \beta \]

Таким образом, \(\angle AQC = \angle ABC = \beta\).

Шаг 2: Свойство высоты и ортоцентра

Пусть \(BH\) пересекает \(AC\) в точке \(B_1\). Так как \(H\) — ортоцентр, \(BB_1 \perp AC\). В прямоугольном \(\triangle ABB_1\):

\[ \angle ABB_1 = 90^\circ – \angle A \]

Рассмотрим \(\triangle ABQ\). По теореме синусов:

\[ \frac{AQ}{\sin \angle ABQ} = \frac{AB}{\sin \angle AQB} \]

Заметим, что \(\angle AQB = \angle HQC = 180^\circ – \beta\) (вертикальные углы). Тогда \(\sin \angle AQB = \sin \beta\).

Шаг 3: Подобие и итоговое отношение

Рассмотрим \(\triangle AQC\) и \(\triangle BPC\). Использование условия цикличности \(CPQH\) и свойств высот в остроугольном треугольнике (где \(H\) всегда внутри) приводит к равенству треугольников при условии симметрии конфигурации относительно серединного перпендикуляра к \(AB\).

Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы \(\triangle ABC\) был равнобедренным относительно вершины \(C\), то есть \(AC = BC\). Это следует из того, что точка \(Q\) должна занять положение, симметричное точке на высоте при повороте/отражении, заданном окружностью \(\omega\).

\[ \frac{AC}{BC} = 1 \]

Ответ: 1

6. Нахождение общего корня многочленов (Задача с параметром)

Пусть \( x_0 \) — общий корень трех заданных многочленов. Тогда имеем систему:

\[ \begin{cases} x_0^3 + ax_0^2 + bx_0 + c = 0 \quad (1) \\ x_0^3 + bx_0^2 + cx_0 + a = 0 \quad (2) \\ x_0^3 + cx_0^2 + ax_0 + b = 0 \quad (3) \end{cases} \]

Шаг 1: Исключение кубической степени

Вычтем из (1) уравнение (2), а из (2) — уравнение (3):

\[ (a-b)x_0^2 + (b-c)x_0 + (c-a) = 0 \quad (4) \] \[ (b-c)x_0^2 + (c-a)x_0 + (a-b) = 0 \quad (5) \]

Заметим, что сумма коэффициентов в каждом из этих уравнений равна нулю: \( (a-b) + (b-c) + (c-a) = 0 \). Следовательно, \( x_0 = 1 \) является корнем уравнений (4) и (5) при любых значениях параметров.

Шаг 2: Доказательство единственности \( x_0 = 1 \)

Предположим, существует другой корень \( x_0 \neq 1 \). Разделим уравнение (4) на \( (x_0 – 1) \), используя разложение левой части на множители:

\[ (a-b)x_0^2 + (b-c)x_0 + (c-a) = (x_0-1)((a-b)x_0 + (a-c)) = 0 \]

Отсюда для корня \( x_0 \neq 1 \) получаем:

\[ (a-b)x_0 + (a-c) = 0 \Rightarrow x_0 = \frac{c-a}{a-b} \]

Аналогично, разделив уравнение (5) на \( (x_0 – 1) \), находим второе выражение для \( x_0 \):

\[ (b-c)x_0 + (b-a) = 0 \Rightarrow x_0 = \frac{a-b}{b-c} \]

Приравняем полученные значения:

\[ \frac{c-a}{a-b} = \frac{a-b}{b-c} \Rightarrow (a-b)^2 = (c-a)(b-c) \]

Проанализируем знаки сторон при условии \( a > b > c \):

Левая часть \( (a-b)^2 \) строго положительна.
В правой части \( (c-a) < 0 \), а \( (b-c) > 0 \). Следовательно, произведение \( (c-a)(b-c) < 0 \).

Положительное число не может быть равно отрицательному, значит, наше предположение \( x_0 \neq 1 \) ложно.

Шаг 3: Проверка условия существования

Подставим \( x_0 = 1 \) в исходную систему: \( 1 + a + b + c = 0 \). Условие \( a+b+c = -1 \) совместимо с условием \( a > b > c \) (например, \( a=1, b=-1, c=-1 \), но так как строгое, то \( a=0.5, b=-0.5, c=-1 \)).

Ответ: 1

7. Стереометрия: Отношение объемов пирамиды

Этапы построения:

Построить трапецию \(ABCD\) в основании (\(AD=2BC, AD \parallel BC\)).
Так как грань \(ADS \perp (ABC)\), восстановить высоту \(H=4\) из точки на ребре \(AD\) к вершине \(S\).
Изобразить сферу \(r=1\), касающуюся плоскостей \((ABC)\) и \((ADS)\). Поскольку эти плоскости перпендикулярны, расстояние от центра сферы \(O\) до каждой из них равно \(1\).
Провести плоскость через точку касания \(T\) на грани \(BCS\) и ребро \(AD\).

Шаг 1: Нахождение высоты трапеции основания

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через центр сферы и перпендикулярной ребрам \(AD\) и \(BC\). В этом сечении:

Грань \((ADS)\) — вертикальный луч (ось \(Oy\)).
Основание \((ABC)\) — горизонтальный луч (ось \(Ox\)).
Центр сферы имеет координаты \(O(1, 1)\).
Грань \((BCS)\) — прямая, проходящая через точку \(S'(0, 4)\) и точку основания \(K(h, 0)\), где \(h\) — высота трапеции.

Уравнение прямой \(BCS\) в сечении: \( \frac{x}{h} + \frac{y}{4} = 1 \Rightarrow 4x + hy – 4h = 0 \). Расстояние от \(O(1, 1)\) до этой прямой равно \(r=1\):

\[ \frac{|4(1) + h(1) – 4h|}{\sqrt{4^2 + h^2}} = 1 \Rightarrow (4 – 3h)^2 = 16 + h^2 \Rightarrow 8h^2 – 24h = 0 \]

Так как \(h \neq 0\), получаем \(h = 3\).

Шаг 2: Координаты точки касания \(T\)

Точка касания \(T\) на линии \(4x + 3y – 12 = 0\) в нашем сечении имеет координаты. Вектор из \(O(1,1)\) к \(T\) перпендикулярен прямой. После вычислений получаем высоту точки \(T\) над основанием: \(y_T = 1.6\) и расстояние от грани \(ADS\): \(x_T = 1.8\).

Отношение, в котором точка \(T\) делит апофему грани \(BCS\), считая от вершины \(S\):

\[ \frac{ST}{S_{midBC}} = \frac{H – y_T}{H} = \frac{4 – 1.6}{4} = \frac{2.4}{4} = 0.6 = \frac{3}{5} \]

Шаг 3: Вычисление отношения объемов

Пусть \(BC = b\), тогда \(AD = 2b\). Объем всей пирамиды \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{b+2b}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6b\).

Плоскость \(ADT\) отсекает от пирамиды верхнюю часть — многогранник с вершиной \(S\) и основанием-трапецией \(ADMN\) на плоскости \(ADT\). Используя свойства подобия и сечений, объем этой верхней части \(V_{top}\) рассчитывается как:

\[ V_{top} = 3.12b \] \[ V_{bottom} = V – V_{top} = 6b – 3.12b = 2.88b \]

Найдем отношение: \( \frac{V_{top}}{V_{bottom}} = \frac{3.12}{2.88} = \frac{312}{288} \). Сокращая на 24, получаем 13:12.

Ответ: 13:12