Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова
Дополнительное вступительное испытание по математике
июль-август 2024 года
ВАРИАНТ 243
- Найдите целое число, задаваемое выражением \( \log_{1/2} (\text{tg } \frac{\pi}{6}) + \log_{1/2} (\cos \frac{\pi}{6}) \).
- Найдите сумму всех двузначных чисел, состоящих из одной чётной цифры и одной нечётной цифры (чётные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8, нечётные — все остальные).
- Решите неравенство\[ \frac{4^{x^2} – 16^{4x-8}}{\sqrt{x^2+4x} + \sqrt{12+4x-x^2}} > 0 \]
- Решите уравнение \( 2 \sin^3 x = \cos 3x \).
- На стороне \( BC \) остроугольного треугольника \( ABC \) отмечена точка \( D \), отличная от \( B \) и \( C \). Пусть \( E \) — точка пересечения отрезка \( AC \) с окружностью, описанной около треугольника \( ABD \), отличная от \( A \). Пусть \( F \) — точка пересечения отрезка \( AB \) с окружностью, описанной около треугольника \( ACD \), отличная от \( A \). Пусть \( D’, E’, F’ \) — точки пересечения окружности, описанной около треугольника \( ABC \), с прямыми \( AD, BE, CF \) соответственно, отличные от точек \( A, B, C \). Найдите угол \( \angle E’D’F’ \), если известно, что \( \angle EDF = 30^\circ \).
- Найдите все тройки положительных чисел \( x, y, z \), удовлетворяющие системе уравнений\[ \begin{cases} (x^2 + xy + y^2)(y^2 + yz + z^2)(z^2 + zx + x^2) = xyz \\ (x^4 + x^2y^2 + y^4)(y^4 + y^2z^2 + z^4)(z^4 + z^2x^2 + x^4) = x^3y^3z^3 \end{cases} \]
- В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 3. Найдите объём призмы, если известно, что существует сфера радиуса 1, касающаяся плоскости нижнего основания, двух противоположных боковых рёбер и всех рёбер верхнего основания.