ДВИ по математике 2023 — задания дополнительного вступительного испытания МГУ (вариант 233)

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова

Дополнительное вступительное испытание по математике

июль-август 2023 года

ВАРИАНТ 233

1. Найдите целое число, задающееся выражением

\[\frac{3}{\sqrt[4]{16}} + \frac{5}{\sqrt[3]{27}} + \frac{11}{\sqrt{36}}.\]

2. Последовательность \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots\) получается из последовательности натуральных чисел вычёркиванием всех полных квадратов (то есть \(a_{1} = 2\), \(a_{2} = 3\), \(a_{3} = 5\), \(a_{4} = 6\), \(a_{5} = 7\), \(a_{6} = 8\), \(a_{7} = 10\) и т.д.). Найдите \(a_{2023}\).

3. Решите неравенство

\[\log_{\sqrt{3-x}} (3+x) \le 2.\]

4. Решите уравнение

\[\cos^{4} x – \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right).\]

5. Прямая \(\ell\) касается окружности, описанной около треугольника \(ABC\), в точке \(A\). Известно, что \(AB > AC\) и что \(AC = 1\). На стороне \(AB\) отмечена точка \(D\) так, что \(AD = AC\). Прямая, проходящая через точку \(D\) и через центр окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), пересекает прямую \(\ell\) в точке \(E\). Найдите длину отрезка \(AE\).

6. Положительные числа \(a, b, c\) удовлетворяют соотношению

\[a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.\]
Найдите наибольшее возможное значение выражения \(ab+bc\sqrt{3}\).

7. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания равной \(1\), если известно, что плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.