ДВИ по математике 2023 — задания дополнительного вступительного испытания МГУ (вариант 231)

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова

Дополнительное вступительное испытание по математике

июль-август 2023 года

ВАРИАНТ 231

1. Найдите наименьшее целое число, превосходящее

\[\frac{\sqrt{8}}{\frac{\sqrt{2}}{20}+\frac{\sqrt{2}}{23}}.\]

2. Дана последовательность \(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots\) действительных чисел. Найдите \(a_{8}\), если известно, что \(a_{1} = 1\) и что для любой пары индексов \(n, m\), таких что \(n \ge m \ge 0\), справедливо равенство \(a_{n+m} + a_{n-m} = 2(a_{n} + a_{m})\).

3. Решите неравенство

\[x^{\log_{3}\sqrt{x}} > 9.\]

4. Решите уравнение

\[\cos 3x + 2 \sin 2x + 2 \cos x = 0.\]

5. В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AF\), \(BD\) и \(CE\). Найдите все возможные значения разности углов \(\angle A\) и \(\angle B\) треугольника, если известно, что \(DE : EF = BC : AC\).

6. Положительные числа \(a, b, c\) удовлетворяют соотношению

\[\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1.\]
Найдите наибольшее возможное значение выражения
\[\frac{a}{2+a^{2}}+\frac{b}{2+b^{2}}+\frac{c}{2+c^{2}}.\]

7. В правильной треугольной пирамиде \(ABCS\) проведено сечение через ребро основания \(AB\) перпендикулярно боковому ребру \(CS\). Найдите его площадь, если известно, что площадь основания пирамиды равна \(3\), а площадь каждой боковой грани равна \(\sqrt{5}\).